三角函数积分技巧：三角代换的艺术 (三角函数积分公式)

：选择三角代换

我们选择 $x = 2 \sin \theta$。

步骤 3：化简被积分表达式

利用三角恒等式，我们有：$$\begin{split} \sqrt{4 - x^2} &= \sqrt{4 - (2 \sin \theta)^2} \\ &= \sqrt{4 - 4 \sin^2 \theta} \\ &= 2 \cos \theta \end{split}$$

$$\begin{split} dx &= \frac{d}{dx}(2 \sin \theta) \, d\theta \\ &= 2 \cos \theta \, d\theta \end{split}$$ 因此，被积分表达式变为：$$2 \cos^2 \theta \, d\theta$$步骤 4：计算积分

使用三角函数积分公式，我们得到：$$\int 2 \cos^2 \theta \, d\theta = \theta + \sin \theta + C$$

步骤 5：将新变量代回原积分式

最后，我们将 $\theta$ 代回原积分式，得到：$$\int \sqrt{4 - x^2} \, dx = \arcsin \frac{x}{2} + \sin\left(\arcsin \frac{x}{2}\right) + C$$

其中 $C$ 是积分常数。

结论

三角代换是一种强大的技巧，可以在解决三角函数积分时显著简化积分过程。通过理解三角代换的原理和步骤，以及熟记一些常用的积分公式，我们可以轻松地处理各种复杂的三角函数积分。

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