掌握绝对值函数：几何诠释与代数性质 (掌握绝对值函数)

绝对值函数的定义

绝对值函数，符号为 |x|，定义为 x 的非负值，即：

```|x| = {x, x ≥ 0-x, x < 0}```

几何诠释

在数轴上，绝对值函数的几何诠释为：对于一个点 x，|x| 表示从原点到该点的距离。

例如：

• |5| = 5，表示从原点到 5 的距离为 5。
• |-5| = 5，表示从原点到 -5 的距离也是 5。

代数性质

绝对值函数具有以下代数性质：

1. 非负性

|x| ≥ 0，对于所有的 x。

2. 线性性

|ax| = |a||x|，对于任意实数 a 和 x。

证明：当 a ≥ 0 时，|ax| = |a||x|。当 a < 0 时，|ax| = |-a||x| = |a||x|。

3. 三角不等式

|x + y| ≤ |x| + |y|，对于所有的 x 和 y。

证明：当 x ≥ 0 和 y ≥ 0 时，|x + y| = x + y = |x| + |y|。当 x < 0 和 y < 0 时，|x + y| = -(x + y) = -x - y = |x| + |y|。当 x ≥ 0 和 y < 0 时，|x + y| = x - y ≤ x + y = |x| + |y|。当 x < 0 和 y ≥ 0 时，|x + y| = y - x ≤ x + y = |x| + |y|。

4. 相等性

仅当 x = 0 时，才有 |x| = 0。

证明：当 x ≥ 0 时，|x| = x ≠ 0。当 x < 0 时，|x| = -x ≠ 0。

5. 反证

-|x| ≤ 0，对于所有的 x。

证明：当 x ≥ 0 时，-|x| = -x ≤ 0。当 x < 0 时，-|x| = x > 0。

应用

绝对值函数在数学和科学中有着广泛的应用，包括：

• 求解方程和不等式
• 计算距离和长度
• 建模周期性现象
• 求解最小值和最大值

结论

绝对值函数是一个基本而重要的数学概念，它具有独特的几何诠释和代数性质。理解这些性质对于解决数学问题和应用绝对值函数至关重要。

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