gamma 函数表：探索其在积分、概率和特殊函数中的用法(gamma函数公式)

Γ 函数（伽马函数）是一个广义的阶乘函数，具有以下性质： $$ \Gamma(z+1) = z\Gamma(z), \quad z \in \mathbb{C} $$

Γ 函数在许多领域都有广泛的应用，包括积分、概率和特殊函数。下表总结了 Γ 函数的一些重要公式和用法：

公式	用法
$$ \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t} dt, \quad \Re(z) > 0 $$	积分
$$ \Gamma(z) = \frac{(2\pi)^{(z-1)/2}}{\sqrt{-2\pi}} z^{(z-1)/2} e^{-z}, \quad z \in \mathbb{C} $$	斯特林公式
$$ \Gamma(z)\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}, \quad z \in \mathbb{C} $$	反射公式
$$ \Gamma(z) = (2\pi)^{n/2}\left( \prod_{k=0}^{n-1} (z+k) \right) \Gamma(z+n), \quad z \in \mathbb{C} $$	乘积公式
$$ \Gamma(z) = \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{(z)_n}, \quad \Re(z) > 0 $$	降序阶乘

积分中 Γ 函数的应用

Γ 函数在积分中黎曼 ζ 函数的定义中也发挥着重要作用。

结论

Γ 函数是一个强大的数学工具，在积分、概率和特殊函数等领域有着广泛的应用。它的公式和使用方法的掌握对于解决各种复杂的问题至关重要。

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