余切函数在计算机图形学中的应用: 3D 旋转和透视投影 (余切函数计算周期方法)

前言

余切函数在计算机图形学中扮演着至关重要的角色，尤其是在三维旋转和透视投影方面。这些技术被广泛应用于游戏、电影和仿真中，以创造逼真的三维场景。

余切函数

余切函数是一个三角函数，定义为对角线与邻边的比率。在单位圆上，它表示从原点到给定角度的对边线的垂直距离。

余切函数的定义如下:

$$\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$$

其中

• $\theta$ 是角度
• $\sin(\theta)$ 是正弦函数
• $\cos(\theta)$ 是余弦函数

3D 旋转

在计算机图形学中，3D 旋转用于将三维对象围绕给定轴旋转。余切函数用于计算旋转矩阵，该矩阵将对象从一个位置转换到另一个位置。

给定围绕 x 轴的旋转角度 $\theta_x$，绕 y 轴的旋转角度 $\theta_y$ 和绕 z 轴的旋转角度 $\theta_z$，旋转矩阵如下:

$$\mathbf{R} = \begin{bmatrix}\cos(\theta_z)\cos(\theta_y) & -\cos(\theta_z)\sin(\theta_y)\sin(\theta_x) & \sin(\theta_z)\sin(\theta_x) \\\sin(\theta_z)\cos(\theta_y) & \cos(\theta_z)\cos(\theta_y)\sin(\theta_x) & -\cos(\theta_z)\sin(\theta_x) \\-\sin(\theta_y) & \cos(\theta_y)\sin(\theta_x) & \cos(\theta_y)\cos(\theta_x)\end{bmatrix}$$

余切函数用于计算矩阵中的余弦和正弦值。

透视投影

透视投影是一种投影技术，用于将三维场景投影到二维平面。它模拟人眼如何观察世界，创建具有深度和空间感的效果。

透视投影矩阵使用余切函数来计算投影平面上的透视缩小因子。给定视野 (FOV)、纵横比和近平面和远平面的距离，透视投影矩阵如下:

$$\mathbf{P} = \begin{bmatrix}\frac{1}{\left(\tan(\frac{\Text{FOV}}{2})\right)}, & 0, & 0 & 0 \\0, & \frac{1}{\left(\tan(\frac{\text{FOV}}{2})\left(\frac{1}{\text{纵横比}}\right)\right)}, & 0 & 0 \\0, & 0, & -\frac{(\text{远平面} + \text{近平面})}{(\text{远平面} - \text{近平面})}, & -1 \\0, & 0, & -\frac{(2\cdot\text{近平面}\cdot\text{远平面})}{(\text{远平面} - \text{近平面})}, & 0\end{bmatrix}$$

余切函数用于计算投影平面上的视场。

余切函数计算周期方法

在计算机图形学中，周期性地计算余切函数至关重要。一种高效的方法称为余切函数计算周期方法:

1. 预计算表格: 预先计算一组余切值，并将其存储在查表中。

2. 线性插值: 当需要计算查表中范围外的值时，使用线性插值在两个最接近的表项之间内插值。

3. 模运算: 如果角度大于 360 度，使用模运算将它归约到 0 到 360 度的范围内。

4. 使用查表索引: 将归约后的角度除以步长，得到查表索引。索引的整数部分表示最接近的表项，小数部分用于线性插值。

5. 插值: 使用线性插值在查表中的两个表项之间插值余切值。

结论

余切函数在计算机图形学中对于三维旋转和透视投影至关重要。余切函数计算周期方法提供了一种高效的方法来周期性地计算余切函数，从而提高图形应用程序的性能和效率。

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